\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°13}
\lfoot{Probabilités}

\begin{center}
\fbox{ \Large Probabilité (Niveau 1) - A rendre pour le 15 Mai}
\end{center}
\vspace{30pt}


\subsubsection*{Déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète. }

On dispose d'une urne contenant initialement $1$ boule blanche et $1$ boule rouge. On effectue une succession de tirages d'une boule dans cette urne, en ajoutant après chaque tirage une boule supplémentaire de la couleur tirée. On note $B_i$ : "Le $i$-ième tirage amène une boule blanche", $R_i$ : "Le $i$-ième tirage amène une boule rouge" et $X$ la variable aléatoire donnant le numéro du tirage amenant la première boule rouge. Déterminer la loi de $X$. 

\subsubsection*{Calculer si elle existe, l'espérance d'une variable aléatoire discrète. }
On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi est donnée par :
$$
\forall k \in\N^*, \quad P(X = k) = \dfrac{k-1}{k!}
$$
La variable aléatoire $X$ admet-elle une espérance ? Si oui en préciser la valeur.

\subsubsection*{Calculer si elle existe, la variance d'une variable aléatoire discrète. }
On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi est donnée par :
$$
\forall k \in\N^*, \quad P(X = k) = \dfrac{k-1}{k!}
$$
D'après l'exercice précédent $E(X)=e$. La variable aléatoire $X$ admet-elle une variance. Si oui, en préciser la valeur.

\subsubsection*{Reconnaitre une loi usuelle}

On prélève 10 boules avec remise dans une urne contenant $9$ boules blanches et $1$ boule noire indiscernables au toucher. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de tirages ayant amené la boule noire. 
\begin{enumerate}
\item Reconnaitre la loi de $X$, puis donner $X(\Omega)$ et expliciter $P(X=k)$ pour tout $k \in X(\Omega)$. 
\item Donner sans calcul l'espérance et la variance de $X$. 
\item Quelle est la probabilité d'obtenir au moins deux fois la boule noire lors des 10 tirages ? 
\end{enumerate}

\subsubsection*{Utiliser la formule des probabilités totales.}
On dispose de $n$ urnes $(n \geq 2)$ notée $\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2, \ldots, \mathcal{U}_n$. Pour $k \in \entier{1,n}$, l'urne $\mathcal{U}_k$ contient $k$ boules rouges et $n + 1 - k$ boules noires. On choisit une urne au hasard puis on y pioche une boule. 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ?
\item On constate que la boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne $\mathcal{U}_k$ ?
\end{enumerate}


\end{document}